Ein Viertel:
Der Bruch \(\large\frac{1}{4}\) bedeutet den vierten Teil eines Ganzen,
zum Beispiel den vierten Teil einer Pizza.
Den vierten Teil berechnest Du, indem Du durch 4 teilst:
\(\frac{1}{4}\) von 20 Euro = 5 Euro.
Drei Viertel:
Drei Viertel \(\large\frac{3}{4}\) sind 3-mal so viel wie \(\large\frac{1}{4}\):
\(\large\frac{3}{4}\) von 20 Euro = 15 Euro.
Jeder Bruch hat die Form:
\[ \frac{\textrm{Zähler}}{\textrm{Nenner}}= \frac{3}{4}\]
Die Bedeutung von Zähler und Nenner:
Der Zähler gibt die Anzahl der Teile an: im Beispiel sind es 3.
Der Nenner gibt den Zerlegungsgrad an: im Beispiel sind es Viertel.
Der Bruchstrich hat dieselbe Bedeutung wie das Geteiltzeichen: \[ 3:4=\frac{3}{4} \] \[ \frac{10}{5}=10:5=2 \]
Wenn man mehrere Pizzen viertelt, erhält man mehr als 4 Viertel:
\[ 1\,Pizza\,=\frac{4}{4}\,Pizzateile \]
\[ 2=\frac{8}{4} \]
\[ 3=\frac{12}{4} \]
Dabei können so genannte gemischte Zahlen entstehen:
\[ \frac{9}{4}=2\frac{1}{4} \]
Lies: "2 Ganze und 1 Viertel" oder: "Zwei ein Viertel".
Der Wert eines Bruches ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert: \[ \begin{align} &\frac{a}{b} = \frac{a\color{red}\cdot c}{b\color{red} \cdot c} & &Beispiel: \frac{1}{2} = \frac{1\color{red}\cdot 2}{2\color{red}\cdot {2}} = \frac{2}{4}\end{align} \]
Das Erweitern ist praktisch, wenn man Dezimalzahlen dividieren muss:
\[ 8:0,4=\frac{8}{0,4}=\frac{8\color{red} \cdot 10}{0,4\color{red} \cdot 10} =\frac{80}{4}=80:4=20 \]
Der Wert eines Bruches ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner durch dieselben Zahl dividiert.
\[ \frac{12}{15}=\frac{12\color{red}:3}{15\color{red}:3}=\frac{4}{5} \]
Zu demselben Ergebnis gelangst Du, indem Du Zähler und Nenner als Produkt schreibst und den gemeinsamen Faktor durch eine 1 ersetzt:
\[ \frac{12}{15} = \frac{ 4 \cdot \bcancel{\color{red}3}^1 }{ 5 \cdot \bcancel{\color{red}3}^1 } = \frac{4}{5} \]
Im folgenden Beispiel haben 9 und 15 denselben Teiler 3:
\[ \frac{2 \cdot 9}{15 \cdot 7} = \frac{ 2 \cdot \bcancel{\color{red}3}^1 \cdot 3}{5 \cdot \bcancel{\color{red}3}^1 \cdot 7} = \frac{6}{35} \]
Es ist aber leichter, so zu kürzen:
\[ \frac{2 \cdot 9}{15 \cdot 7} = \frac{ 2 \cdot \bcancel{\color{red}9}^3 }{ \bcancel{\color{red}15}^5 \cdot 7} = \frac{6}{35} \]
Brüche mit gleichem Nenner (gleichnamige Brüche) werden addiert, indem man ihre Zähler addiert
und den Nenner beibehält:
\[ \begin{align} &\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} & &Beispiel: \frac{2}{6} +\frac{3}{6} =\frac{5}{6}\end{align} \]
Die Subtraktion funktioniert genauso:
\[ \frac{9}{10}-\frac{2}{10}=\frac{7}{10} \]
Ungleichnamige Brüche müssen durch Erweitern zuerst auf den Hauptnenner gebracht werden: \[ \frac{2}{3} +\frac{4}{5}=\frac{ 2 \cdot 5 }{ 3 \cdot 5 }+\frac{ 4 \cdot 3 }{ 5 \cdot 3}=\frac{10}{15}+\frac{12}{15}=\frac{22}{15} \]
Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man ihre Zähler und ihre Nenner miteinander multipliziert: \[ \begin{align} &\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} & &Beispiel: \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7}=\frac{10}{21}\end{align} \] Ganze Zahlen können dabei als Eintel geschrieben werden: \[ 4 \cdot \frac{5}{9} = \frac{4}{1} \cdot \frac{5}{9}= \frac{4 \cdot 5}{1 \cdot 9}=\frac{20}{9} \] Vor dem Multipilizieren sollte gekürzt werden: \[ \frac{2}{27} \cdot \frac{9}{4} = \frac{\bcancel{2}^1 \cdot \bcancel{9}^1}{\bcancel{27}_3 \cdot \bcancel{4}_2}=\frac{1}{6} \]
Für die Division brauchst Du den Begriff des Kehrwertes eines Bruches.
Den Kehrwert erhälst Du, indem Du Zähler und Nenner miteinander vertauschst:
Der Kehrwert von \( \frac{3}{4} \) ist \( \frac{4}{3} \).
Zwei Brüche werden durcheinander dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multipliziert: \[ \begin{align} &\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}= \frac{a \cdot d}{b \cdot c} & &Beispiel: \frac{2}{3} : \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5}=\frac{14}{15}\end{align} \]
Ganze Zahlen können dabei wieder als Eintel geschrieben werden: \[ 5:\frac{2}{3}=\frac{5}{1} \cdot \frac{3}{2}=\frac{15}{2}=7\frac{1}{2} \]
Wieviel sind drei Viertel von 100 Euro? Wir rechnen zunächst ein Viertel aus:
\[\frac{1}{4} \,von\, 100\, Euro = 100\, Euro : 4 = 25\, Euro\]
Wir können aber auch mit \(\frac{1}{4}\) multiplizieren:
\[\frac{1}{4} \,von\, 100\, Euro =\frac{1}{4} \cdot 100\, Euro =\frac{100}{4}\, Euro=25\, Euro\]
Da drei Viertel 3-mal so viel sind, also 75 Euro, rechnen wir:
\[\frac{3}{4} \,von\, 100\ =\frac{3}{4} \cdot 100 =\frac{3 \cdot 100}{4}=75\]
Der hundertste Teil eines Ganzen wird ein Prozent genannt: \[ \frac{1}{100}=1\,\%\] Entsprechend sind 25%: \[ 25\,\%=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}\] Wollen wir zum Beispiel 30% von 200 Euro ausrechnen, also 30 Hundertstel von 200 Euro, so multiplizieren wir: \[ 30\,\% \,von\,200=\frac{30}{100}\,von\,200=\frac{30}{100} \cdot 200=0,3 \cdot 200=60\]
Hier möchte ich Dir zeigen, wie Du ohne Taschenrechner eine quadratische Gleichung lösen kannst.
Gegeben sei die quadratische Gleichung:
\[ x^2-\frac{7}{2}x+\frac{3}{2}=0 \]
Die p-q-Formel lautet:
\( x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \).
Hier ist \( p=-\frac{7}{2} \) und damit \( -\frac{p}{2}=-p:2=\frac{7}{2}:2=\frac{7}{4} \):
\[ x_{1,2}=\frac{7}{4}\pm \sqrt{\left(\frac{7}{4}\right)^2-\frac{3}{2}} \]
Mit \( \left(\frac{7}{4}\right)^2=\frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4}=\frac{49}{16} \) folgt:
\[ x_{1,2}=\frac{7}{4}\pm \sqrt{\frac{49}{16}-\frac{3}{2}} \]
Wir erweitern nun den Bruch \( \frac{3}{2} \) mit 8:
\[ x_{1,2}=\frac{7}{4}\pm \sqrt{\frac{49}{16}-\frac{24}{16}} \]
\[ x_{1,2}=\frac{7}{4}\pm \sqrt{\frac{25}{16}} \]
Aus Zähler und Nennen dürfen wir getrennt die Wurzel ziehen:
\[ x_{1,2}=\frac{7}{4}\pm \frac{5}{4} \]
Und die Lösung lautet:
\[\begin{align*} x&_{1}=\frac{7}{4}+ \frac{5}{4}=\frac{12}{4}=3 & x&_{2}=\frac{7}{4}- \frac{5}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\end{align*}\]